

%(�뽫�ļ�����Ϊ���ѧ������ȫƴ������ "201521130099wangming.tex") 

% Typeset by LaTex

 \documentclass[CJK,12pt]{cctbook}


 \usepackage{amsmath, amssymb, mathrsfs,bm}
 \usepackage{extarrows}
 \usepackage{enumerate}
 \usepackage[dvips]{color}

 \allowdisplaybreaks

 \pagestyle{headings}

 \setlength{\topmargin}{0.0cm}
 \setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
 \setlength{\evensidemargin}{0.0cm}
 \setlength{\textwidth}{16.0cm}
 \setlength{\textheight}{23.0cm}

 \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}

 \newtheorem{def0}{Definition}
 \newtheorem{thm0}{Theorem}
 \newtheorem{exa0}{Theorem}

 \newtheorem{lemma}[thm0]{\noindent\mbox{����}}
 \newtheorem{theorem}[thm0]{\noindent\mbox{����}}
 \newtheorem{proposition}[thm0]{\noindent\mbox{����}}
 \newtheorem{corollary}[thm0]{\noindent\mbox{����}}
 \newtheorem{definition}[def0]{\noindent\mbox{����}}
 \newtheorem{example}[exa0]{\noindent\mbox{��}}

 \def\blemma{\begin{lemma}\rm\fangsong{}\def\elemma{\end{lemma}}}
 \def\btheorem{\begin{theorem}\rm\fangsong{}\def\etheorem{\end{theorem}}}
 \def\bproposition{\begin{proposition}\rm\fangsong{}
 \def\eproposition{\end{proposition}}}
 \def\bcorollary{\begin{corollary}\rm\fangsong{}\def\ecorollary{\end{corollary}}}
 \def\bdefinition{\begin{definition}\rm\songti{}\def\edefinition{\end{definition}}}
 \def\bexample{\begin{example}\rm\songti{}\def\eexample{\end{example}}}

 \def\beqlb{\begin{eqnarray}}\def\eeqlb{\end{eqnarray}}
 \def\beqnn{\begin{eqnarray*}}\def\eeqnn{\end{eqnarray*}}

 \def\proof{\noindent{\heiti ֤��}~~}
 \def\qed{\hfill$\Box$\medskip}

 \def\e{\mbox{\rm e}}\def\i{{\rm i}}
 \def\d{\mbox{\rm d}}
 \def\b{\mbox{\rm b}}\def\p{\mbox{\rm p}}

 \def\mbb{\mathbb}\def\mcr{\mathscr}\def\mbf{\mathbf}

 \def\ar{\!&\!}\def\nnm{\nonumber}

 \def\blue{\color{blue}}

\begin{document}



\noindent{\heiti\bf\Large ��ѧ��ѧѧԺ�о����γ̡�������̡����鱨��}

\bigskip\bigskip

\noindent �о�������:\underline{\qquad\qquad\qquad}
 \quad
ѧ��:\underline{\qquad\qquad\qquad}
 \quad
����:\underline{\qquad\qquad\qquad}


\noindent �ľ���ʦ\ (ǩ��):\underline{\qquad\qquad\qquad}


\hfill ����: \underline{2016} ��\ \underline{?} ��\ \underline{??} ��

\noindent{\dotfill}

\noindent{\small [����������Դ��\ K.L. Chung ��\ ``Lectures from Markov Processes
to Brownian Motion'' (Springer, 1982), ��\ 50--54 ҳ, �������˱��˵ļӹ�.]}

\bigskip

\noindent{\heiti\bf\large ��Ŀ: ���չ��̵Ĺ������}

\bigskip

���������о��������Ϲ��̵Ĺ������. ������ҪһЩ���������׼��. ��\ $E$
�ǿɷֵľֲ��������ռ�. ȡ��\ $E$ �ϵľ���\ $d$. ��\ $\mcr{D}$ �Ƕ�����\
$E$ �ϵ�һ��ʵ������. ��������κ�\ $x\ne y\in E$ ������\ $g\in \mcr{D}$
ʹ��\ $g(x)\neq g(y)$, ����˵\ $\mcr{D}$ {\kaishu ����\ $E$ �ĵ�}. ����\
Stone-Weierstrass �������õ���һ������. ����\ $\{O_n: n = 1,2,\cdots\}$
����\ $E$ ����Խ��������ɵĿ�����. �����Ŀ������Ǵ��ڵ�(��ҵ). ����\
$x\in E$ ��\ $f_n(x) = \inf\{d(x,y): y\notin \bar{O}_{n})$. ����֤��\
$\{f_1,f_2,\cdots\}\subset \p C_0(E)$ ����\ $E$ �ĵ�.

\bproposition\label{t4.2.1} ����������\  $\mcr{D} := \{U^\alpha f_n:
\alpha, n = 1,2,\cdots\}\subset \p C_0(E)$ ����\ $E$ �ĵ�. \eproposition


\proof �����κ�\ $x\ne y\in E$ ����ĳ��\ $O_n$ ʹ��\ $x\in O_{n}$ ��\
$y\notin \bar{O}_{n}$. ���\ $f_n(x)>0=f_n(y)$. ��ǰ��Ķ���,
���㹻�������\ $\alpha\ge 1$ ʹ��
 \beqnn
|\alpha U^\alpha f_n(x)-f_n(x)|
 \ar<\ar
\frac{1}{2}f_n(x) \cr |\alpha U^\alpha f_n(y)-f_n(y)|
 \ar<\ar
\frac{1}{2}f_n(x).
 \eeqnn
�ɴ˵�
 \beqnn
\alpha U^\alpha f_n(x)
 >
\frac{1}{2}f_n(x)
 >
\alpha U^\alpha f_n(y).
 \eeqnn
���\ $U^\alpha f_n(x)\neq U^\alpha f_n(y)$, ��\ $\mcr{D}$ ����\ $E$
�ĵ�. \qed



\bproposition\label{t4.2.2} ��\ $E$ �ǽ������ռ�, ��\ $\mcr{D}_0\subset
C(E)$ ����\ $E$ �ĵ�. ��\ $t\mapsto X(t)$ ��\ $[0,\infty)$ �Ŀ������Ӽ�\
$S$ ��\ $E$ ��ӳ��. �����κ�\ $g\in \mcr{D}$ ӳ��\ $S\ni t\mapsto g\circ
X(t)$ ��\ $[0,\infty)$ �����Ҽ���, ��\ $S\ni t\mapsto X(t)$ ��\
$[0,\infty)$ ���Ҽ���; �����κ�\ $g\in \mcr{D}$ ӳ��\ $S\ni t\mapsto
g\circ X(t)$ ��\ $(0,\infty)$ ��������, ��\ $S\ni t\mapsto X(t)$ ��\
$(0,\infty)$ ������. \eproposition

\proof ����\ $S\ni t\mapsto X(t)$ ��ĳ��\ $t\in [0,\infty)$ �������Ҽ���.
����\ $E$ �ǽ������ռ�, ����\ $s_n, t_n\in S$ ����\ $s_{n}\downarrow t$
��\ $t_n\downarrow t$, ��ͬʱ\ $\lim_{n\to \infty} X(s_n) = x \neq y =
\lim_{n\to \infty} X(t_n)$. ����\ $\mcr{D}$ �����, ����\ $g\in \mcr{D}$
ʹ��\ $g(x)\neq g(y)$. ��Ϊ\ $g$ ����, ������
 \beqnn
\lim_{n\to \infty}(g\circ X)(s_{n}) = g(x)\neq g(y) = \lim_{n\to \infty}
(g\circ X)(t_n).
 \eeqnn
�����������ì��. �������޵����֤�������Ƶ�. \qed



�������ǿ��Ǿֲ��������ռ�\ $E$ �ϱ��صķ��հ�Ⱥ\ $(P_t)_{t\ge 0}$.
����ǰ��Ķ���, ����\ $E$ ���κθ��ʲ��\ $\mu$, ������\ $\mu$
Ϊ��ʼ�ֲ���\ $(P_t)_{t\ge 0}$ Ϊת�ư�Ⱥ�����Ϲ���. �ٶ�\ $(\Omega,
\mcr{G}, \mcr{G}_t, \mbf{P})$ �Ǵ����ĸ��ʿռ�, ��\ $\{X_t: t\ge 0\}$
�Ƕ����ڸø��ʿռ����������\ $(\mcr{G}_t)_{t\ge 0}$ �����Ϲ���, ��\
$(P_t)_{t\ge 0}$ Ϊת�ư�Ⱥ.





\bproposition\label{t4.2.3}  ���չ���\ $\{X_t: t\ge 0\}$ �����������.
Ҳ����˵, ����ÿ��\ $t\ge 0$, ����\ $s\to t$ ��\ $X_s\overset{P}\to X_t$
(����������). \eproposition


\proof ���ȿ�����\ $E$ �ǽ������. ��\ $f, g\in C(E)$. ����\ $s\ge 0$ ��\
$\delta>0$, ����\ $\{X_t: t\ge 0\}$ �������Ե�
 \beqnn
\mbf{P}\{f(X_s)g(X_{s+\delta})\}
 =
\mbf{P}\{f(X_s)P_\delta g(X_s)\}
 \to
\mbf{P}\{f(X_s) g(X_s)\} \qquad (\delta\to 0).
 \eeqnn
���\ $0<\delta<s$, ������������
 \beqnn
\ar\ar\big|\mbf{P}\{f(X_s)g(X_{s-\delta})\} - \mbf{P}\{f(X_s)
g(X_s)\}\big| \cr
 \ar\ar\qquad
\le \big|\mbf{P}\{f(X_s)g(X_{s-\delta})\} - \mbf{P}\{f(X_{s-\delta})
g(X_{s-\delta})\}\big| \cr
 \ar\ar\qquad\qquad
+ \big|\mbf{P}\{f(X_{s-\delta})g(X_{s-\delta})\} - \mbf{P}\{f(X_s)
g(X_s)\}\big| \cr
 \ar\ar\qquad
\le \big|\mbf{P}\{P_\delta f(X_{s-\delta})g(X_{s-\delta})\} -
\mbf{P}\{f(X_{s-\delta})g(X_{s-\delta})\}\big| \cr
 \ar\ar\qquad\qquad
+ \big|\mbf{P}\{f(X_{s-\delta})g(X_{s-\delta})\} - \mbf{P}\{P_\delta
(fg)(X_{s-\delta})\}\big| \cr
 \ar\ar\qquad
\le \mbf{P}\big\{|(P_\delta
f(X_{s-\delta})-f(X_{s-\delta}))g(X_{s-\delta})|\big\} \cr
 \ar\ar\qquad\qquad
+ \mbf{P}\big\{|f(X_{s-\delta})g(X_{s-\delta}) -
P_\delta(fg)(X_{s-\delta})|\big\} \cr
 \ar\ar\qquad
\le \big\|(P_\delta f-f)g\| + \|(fg) - P_\delta(fg)\big\|.
 \eeqnn
��ʽ�Ҷ�����\ $\delta\to 0$ ������. �������ǵõ�
 \beqlb\label{4.2.1}
\lim_{t\to s}\mbf{P}\{f(X_s)g(X_t)\}
 =
\mbf{P}\{f(X_s)g(X_s)\}.
 \eeqlb
����, ���\ $h$ ��һ����\ $E\times E$ ����������, ��ô����\ $E \times E$
�ϵĺ�����
 \beqnn
h_n(x,y) := \sum_{i=1}^n f_{n,i}(x)g_{n,i}(y),
 \eeqnn
����\ $f_{n,i}, g_{n,i}\in C(E)$, ʹ��һ�µ���\ $h_n\to h$. ����\
Stone-Weierstrass ������֤. �ɴ˺�\ (\ref{4.2.1}) �õ�
 \beqnn
\lim_{t\to s}\mbf{P}\{h(X_s,X_t)\}\to \mbf{P}\{h(X_s,X_s)\}.
 \eeqnn
ȡ\ $h: E\times E\to [0,\infty)$ Ϊ\ $E$ �Ķ���, ��ô��ʽ�Ҷ�Ϊ��.
�����\ $X_t \overset{P}\to X_s$ ($t\to s$). ����\ $E$
��һ��ɷ־ֲ��������ռ�����, ���ǿɽ�\ $(P_t)_{t\ge 0}$
����Ϊ��������ռ�\ $E^\partial$ �ϱ��صķ��հ�Ⱥ, ����\ $\{X_t\}$
Ϊȡ֮��\ $E^\partial$ �Ĺ���. ��������Ƶ�֪\ $\{X_t\}$ ��\ $E^\partial$
���������. �����ڶ�ÿ��\ $t\ge 0$ ����\ $\mbf{P}\{X_t\in E\} = 1$, ��\
$\{X_t\}$ Ҳ��\ $E$ ���������. \qed




��\ $\mcr{D}$ ������~\ref{t4.2.1} ����, ����\ $g\in \mcr{D}$. ����\
$\alpha\ge 1$ ��\ $f\in \p C_0(E)$ ʹ\ $g = U^\alpha f$. ����\ $t\mapsto
e^{-\alpha t}g(X_t)$ �ǷǸ�����. ��\ $S$\ ��\ $[0,\infty)$ �Ŀ������Ӽ�.
��ǰ��Ķ���, ���ڿɲ⼯\ $\Omega_{g}\in \Omega$ ����\ $P(\Omega_{g})=1$
ʹ��ÿ��\ $\omega\in \Omega_{g}$ ��������\ $t \mapsto e^{-\alpha
t}g(X_t(\omega))$ �����޵����Ҽ���. �Ӷ�\ $t \mapsto g(X_t(\omega))$
�����޵����Ҽ���. ��\ $\Omega_{*}= \cap_{g\in \mcr{D}} \Omega_{g}$, ��ô\
$P(\Omega_{*})=1$. ������\ $\omega\in \Omega_{*}$ ��\ $g\in \mcr{D}$,
����\ $t\mapsto g(X_t(\omega))$ �����޵����Ҽ���. ��������~\ref{t4.2.2}
֪������\ $\omega\in \Omega_{*}$ ���\ $S\ni t \mapsto X_t(\omega)$
�����Ҽ���. �������Ǿ�֤�������µ�:

\bproposition\label{t4.2.4} ��\ $E$ �ǽ���. ��ô�����е�\ $\omega\in
\Omega_*$ ��������\ $S\ni t\mapsto X_t(\omega)$ ��\ $[0,\infty)$
���Ҽ���, ��\ $(0,\infty)$ ������. \eproposition



�����������Թ���\ $\{X_t: t\ge 0\}$ �����������������. ��\
$\Omega_{*}$ ������������. ����\ $\omega\in \Omega_{*}^c$ ��\
$\tilde{X}_t(\omega) = \hat{X}_t(\omega) = X_0(\omega)$. ����\ $\omega\in
\Omega_{*}$ ��
 \beqlb\label{4.2.2}
\tilde{X}_t(\omega) = \lim_{S\ni s\downarrow t} X_s(\omega) \quad (t\geq
0),
 \qquad
\hat{X}_t(\omega) = \lim_{S\ni s\uparrow t} X_s(\omega) \quad (t>0),
 \eeqlb
�����䶨��\ $\hat{X}_0(\omega) = X_0(\omega)$. ���ѿ���, ����ÿ��\
$\omega\in \Omega$, ����\ $t\mapsto \tilde{X}_t(\omega)$ ����������ÿ��\
$t>0$ ������\ $\hat{X_t}(\omega)$. ���Ƶ�, ����ÿ��\ $\omega\in
\Omega$, ����\ $t\mapsto \hat{X}_t(\omega)$ ����������ÿ��\ $t\ge 0$
���Ҽ���\ $\tilde{X}_t(\omega)$.



\btheorem\label{t4.2.5} ��\ (\ref{4.2.2}) ����Ĺ���\ $\{\tilde{X}_t\}$
��\ $\{\hat{X}_t\}$ ����\ $\{X_t\}$ ������. ���Ƕ��������\
$(\mcr{G}_t)_{t\ge 0}$ ��ǿ����\ $(\mcr{G}^*_t)_{t\ge 0}$ �����Ϲ���,
����\ $(P_t)_{t\ge 0}$ Ϊת�ư�Ⱥ. \etheorem


\proof ע�������������̺����ڼ���������Ȼ����������. ���,
��������~\ref{t4.2.3}, ��ÿ���̶���\ $t\ge 0$ ����\ $s_{n}\in S$ ʹ\
$s_{n} \downarrow t$ ����
 \beqlb\label{4.2.3}
\mbf{P}\Big\{\lim_{n\to \infty} X_{s_{n}} = X_t\Big\} = 1.
 \eeqlb
������һ����, ������\ $\lim_{n\to \infty} X_{s_{n}} = \tilde{X_t}$,
�ʶ�ÿ��\ $t\ge 0$ ����\ $\mbf{P}\{\tilde{X}_t = X_t\} = 1$, ��\
$\{\tilde{X}_t\}$ ��\ $\{X_t\}$ ������. ����ǰ���������\ $\tilde{X}_t\in
\mcr{G}^*_t$. ����, ��ǰ��Ķ���֪\ $\{X_t\}$ �����ǿ����\
$(\mcr{G}^*_t)_{t\ge 0}$ Ҳ����\ $(P_t)_{t\ge 0}$ Ϊת�ư�Ⱥ�����Ϲ���.
�ʶ�ÿ��\ $f\in \b\mcr{B}(E)$ ������Ȼ��,
 \beqnn
\mbf{P}[f(\tilde{X}_{s+t})|\mcr{G}^*_t]
 =
\mbf{P}[f(X_{s+t})|\mcr{G}^*_t]
 =
P_sf(X_t)
 =
P_{s}f(\tilde{X}_t).
 \eeqnn
��͵õ�����\ $\{\tilde{X}_t\}$ �Ķ���. ����\ $\{\tilde{X}_t\}$
��֤�������Ƶ�. \qed


���涨��˵�������ܿ�ѡ���ʵ��İ汾, ʹ���չ��̾������õ��������.
�ö����Ĳ���֮����ֻ�Խ��ռ��ϱ��صķ��հ�Ⱥ����.




\end{document}
