2002-2003学年第二学期

数学系2002级3、4班《数学分析》课复习提纲

（2003年6月）

复习原则：注重概念，搞清联系，掌握算法，正确论证。

一、多元函数微分学

  1、掌握多元函数的偏导数、方向导数、高阶偏导数等概念、性质及联系，会求导数，会验证函数的可导、不可导及可微、不可微，了解导数的几何意义并会求切平面方程、法线方程；

  2、掌握函数及映射的导数、微分概念和高阶混合偏导数交换次序的条件，复合函数和复合映射求导的法则（链式法则），会求复合函数的偏导数及高阶偏导数；

  3、掌握高阶方向导数、泰勒公式，局部极值，条件极值的概念和求法；

  4、掌握逆变换、隐变换的求导法则。

 二、不定积分

1、理解原函数的概念；

2、掌握一元函数积分法，包括：第一换元法、第二换元法、分部积分法、有理函数积分法、三角有理函数积分法、可化成有理函数的无理函数积分法。

三、(Riemann)定积分  

1、掌握定积分概念和性质：定积分定义，可积条件与定积分性质，变限定积分性质；会用有关内容证明函数可积性、证明积分不等式以及积分值的估计等；

2、掌握定积分的计算方法，如利用微积分(Newton-Leibnitz)基本定理，分部积分，两个换元法等；

3、理解有关的例子：如泰勒(Taylor)公式的积分型余项，定积分有关的数列极限（用积分和计算定积分），上下限为可微函数的积分的导数等；

4、定积分应用：包括求平面图形面积（直角坐标表示的曲线，参数方程表示的曲线，极坐标方程表示的曲线等围成的），已知截面面积求立体体积，旋转体体积，曲线弧长，旋转曲面面积，微元法等。要求知道如何导出相应公式，并且会用公式计算；

5、定积分在物理中的应用：求质量、质心、压力、变力作功，重心、平均值，定积分近似计算等。

四、非正常积分

1、瑕积分：瑕积分概念，绝对收敛，条件收敛，从定义出发判敛，哥西(Cauchy)判敛准则，比较法，狄里克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法；

2、无穷区间上的广义积分：无穷区间上的广义积分概念，从定义出发判敛，哥西(Cauchy)判敛准则，比较法，狄里克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法；

3、有关例子：欧拉（Euler）积分， 欧拉-普洼松（Euler-Poisson）积分, 伏汝兰尼（Froullani）积分，变量代换，分部积分，用积分和计算广义积分。  

本章要求会判断收敛性、绝对收敛性，理解有关例子中各积分的推导过程。

五、含参量积分和含参量广义积分

1、含参量积分：（1）一致收敛，包括函数列的一致收敛性，含参量的函数当参量趋于有限值或趋于无限大时的一致收敛性的概念，（2）在一致收敛的情况下的连续性定理、可微性定理和可积性定理，（3）极限号和积分号交换次序，极限号和微分号交换次序，极限号和极限号交换次序等定理；

2、含参量广义积分：包括（1）含参量广义积分的一致收敛概念，（2）一致收敛的判敛法,包括比较法，维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法，狄里克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法等,（3）含参量广义积分确定的函数的性质，包括连续性、可积性、可微性，积分号下取极限，积分号下取导数，两个积分号交换次序等，（4）几种常见积分的计算: 狄里克雷(Dirichlet)积分、概率积分、哥西-伏汝兰尼(Cauchy--Froullani)积分，欧拉（Euler）积分，斯特林(Stirling)公式等。  

本章基本要求是会判断函数列、函数族以及含参量广义积分的一致收敛性，能够用有关连续性、可微性和可积性定理等关于符号可交换的定理研究函数（包括由含参量积分、含参量广义积分定义的函数）性质，以及计算一些积分、含参量积分或含参量广义积分的值。