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特征值估计　

众所周知，特征值问题在数学各分枝和物理中均占有重要地位，研究的历史悠久，积累无数文献。不久前，陈木法和王凤雨教授就四种情形(有限或无限矩阵、粒子系统、欧氏空间中的椭圆算子和流形上的拉氏算子)出奇地找到了第一(非平凡)特征值下界的变分公式。须知关于上界的变分公式已有百年以上的历史，但关于下界的这种公式，则是前所未有。例如对于紧黎曼流形，新公式由流形的维数、直径和Ricci曲率下界三个几何量给出。它不仅统一了、而且改进了几何学家四十年来所得到的八种著名估计。同时也完全解决了丘成桐的一个猜想。由此不难想象这项进展对于谱理论所带来的影响。自然地，也已获得普遍的称赞。五年来，陈木法已在国内外作过四十多次演讲(特别是在德国Bielefeld大学、俄罗斯科学院信息传输问题研究所和台湾中研院作了系列讲座)。美国Cornell大学的一门研究生课已讲授了这些新进展。国内外讨论班多次研讨了这些成果。这些结果已被收入到一些新书中。获得这项预想不到的结果的奥妙在于：使用了全新的数学工具，即陈木法教授所潜心研究了十多年的耦合方法。

耦合方法　

耦合方法是二十多年来概率论的最重要发展之一。陈木法教授的贡献主要有三个方面：

(a) 马氏耦合。首次从原始的地方，问题的根本点出发，系统地研究马氏耦会，得到了跳过程耦合的基本定理，并完成了扩散过程耦合算子的系统分析。

(b) 经过了六年的努力，找到了一种最优耦合概念，提供了耦合分类和优化的一种途径，找到了意想不到的新耦合。

(c) 又经过三年的努力解决了关于耦合距离的分类和优化问题，找到了可达精确估计的一大类距离。以上耦合研究的“三部曲”，更新了耦合理论。直到几年前，几乎没有人们相信耦合方法能够达到精确估计，因而上述特征值估计成果的出现，令人十分惊讶，并激发了大量的后续工作。

成果(a)已被收入随后将会谈到的W.J. Anderson的总结性论著。成果(b)己被国外论文命名为“陈氏最优耦合”。成果(c)也已被国外论文明确指出为“陈木法所发明的距离方法”。

马氏链与跳过程　

马氏链是最简单的一类跳过程，也是跳过程的特例。概率论中的马氏链类似于数学中的数论，易懂不易做。自六十年代末开始有相当长时间人们以为马氏链理论已完成，但近年来却“重新复活”，成了大热门。在此领域，陈木法教授有过重要贡献：

(a) 找到了过程的唯一性、常返性和正常返性(即遍历)的简单实用的新判别法。此结果具有根本的重要性，是反应扩散过程及其平均场模型的每一篇文章都要用到的。也被应用于马氏决策、分枝过程和非时齐马氏链。就我们所知，国外已有三篇文章继续研究这一课题。

(b) 最终解决了全稳定跳过程的唯一性准则。

为总结过去三十年来马氏链研究的主要成就，1991年Springer-Ver1ag出版了W.J. Anderson的专著。书中收入了陈木法教授的三项成果(有一项与侯振挺教授合作)，包括这里的(a)。最近，陈木法教授系统地研究了各种遍历性与几个重要泛函不等式之间的关系，绘就了遍历性的“联络图”，该联络图经由张余辉、毛永华等人的努力正在被逐步地实现。

新型Harnack不等式及其应用　

流形上热半群的双曲型Harnack不等式首先由Li-Yau于1986年建立，之后被许多人推广和应用。目前这一方向的最新结果属于Bakry和钱忠民(1998)，他们对一类满足“曲率维数”条件的扩散半群建立了这样的不等式，并证明不等式常数是最优的。所有这些不等式都需要算子是“有限维”的，因其证明的要点在于将算子与流形上的Laplace算子作比较。但这样的维数条件排除了一大批概率论和统计物理中的重要模型，如著名的O-U过程即不满足此条件。王凤雨使用完全不同的方法建立了新型Harnack不等式，它不依赖于维数，因而也适用于无穷维情形。国际概率刊物"Probability Theory and Related Fields"审稿人和编委指出王凤雨的结果否定了Chung-Yau的一个猜测。这项工作很快被国际同行多次引用，日本的S. Aida在其文章中称此不等式为王氏(Wang's)不等式。王凤雨还因此项工作被法国数学家D. Bakry和M. Ledoux邀请赴法做两个月的访问教授。作为新型Harnack不等式的应用，王凤雨研究了对数Sobolev和H-超压缩性(Hypercontractivity)。H-超压缩性首先由Nelson对O-U半群得到，之后L. Gross(1976)证明它等价于对数Sobolev不等式。1984年，Bakry和Emery给出了对数Sobolev不等式一个著名的判别准则。此后的大量工作都是对这一判别法的改良和应用。陈木法和王凤雨(1997)大大地改进了这一判别法。但直到新型Harnack不等式的建立，王凤雨(1997)才得以获得全新的判别法则：粗略地讲，对数Sobolev不等式等价于距离平方的指数式可积性。作为定性结论，这已是最终形式的答案，因而优于以往所有的判别法。作为Harnack不等式的进一步应用，王凤雨和M. Rockner合作获得了另两种超压缩性的充分必要条件，即S-超压缩性(Supercontractivity)和U-超压缩性(Ultracontractivity)。由新型Harnack不等式出发，王凤雨还给出对数Sobolev常数的若干新估计。特别地，获得了紧Riemannian流形上对数Sobolev常数不依赖于维数的非平凡估计，从而否定了Chung-Yau(1996)关于“本质上依赖于维数”的猜测。

一般型Poincare-Sobolev型不等式及其应用　

王凤雨提出了一般型泛函不等式，它覆盖了所有已知的同类不等式，包括Poincare、Sobolev、Nash、对数Sobolev不等式等。熟知，Poincare不等式等价于半群的L^2-指数式收敛，也等价于算子具有谱空隙(spectral gap)。而对数Sobolev不等式等价于H-超压缩性，并强于Poincare不等式。但已知结果并未给出对数Sobolev不等式所蕴含的除谱空隙以外的更多谱信息。王凤雨研究上述的一般型不等式，证明了一般Sobolev型不等式等价于半群的L^2一致可积性，并且在自然的限制条件下，等价于算子只有纯点谱(即本征谱为空集)。这一结论表明，一般Sobolev型不等式，包括对数Sobolev不等式，通常蕴含着生成元的谱是离散的，并且所有特征值都是有限重的。王凤雨首先对扩散过程获得上述结论，更一般情形的结论也由王凤雨与巩馥洲合作得到。王凤雨还与陈木法教授合作，发展了跳过程的Cheeger不等式，对于跳过程谱空隙的研究提供了新的实用的判别法则。沿着这一思路，王凤雨给出了一般跳过程Sobolev型不等式的判别法。

扩散半群的梯度估计与热核估计　

热半群的梯度估计通常是热核估计的准备，同时其本身也具有许多应用(如导出Harnack型不等式)。而热核估计则是概率论、微分几何和理论物理中的重要研究课题。通常所用的工具有：

1) Li-Yau的极大值原理方法；

2) Bismut型分部积分公式；

3) Fleming-Sheu的随机控制方法。

王凤雨不仅综合运用上述三种方法，还发展了耦合方法研究半群的梯度估计，获得了一系列的新结果。王凤雨与A. Thalmaier合作，研究了局部区域上调和函数和Dirichlet半群的梯度估计。王凤雨还与巩馥洲合作，对流形上较一般的扩散给出了Li-Yau型的热核上、下界估计，并应用于流形紧性的研究，证明了E.L. Bueler关于紧性的一个猜测(Trans. Amer. Math. Soc.，1999)。

连续自旋系统的研究　

自旋系统是用来刻画统计物理中相变现象的概率模型。王凤雨研究一类以黎曼流形为自旋空间的系统。王凤雨使用耦合方法，给出新的遍历性条件，改进了Deuschel和Stroock使用对数Sobolev不等式所获得的遍历性条件。对于非遍历情形，当有限维系统逼近无限维系统时，相应的谱空隙与对数Sobolev常数收敛于零。一个很有趣的课题是刻画这两个常数的衰减速度。对于经典的Ising模型(离散自旋系统)，已有许多结果。而有关连续自旋系统的相应成果，则是由王凤雨于1996年给出的。

斜卷积半群和移民过程　

李增沪在他的系列论文中发展了基于“斜卷积半群”的移民过程理论。他利用斜卷积半群给出了移民过程的公理化定义，并证明斜卷积半群与无穷可分的进入律之间存在1-1对应关系。他还给出了DW超过程和分枝粒子系统的无穷可分进入律的完全表达，并用Kuznetsov过程和excursions构造了DW超过程和分枝粒子系统的所有伴随移民过程。这些成果已逐步成为国内外同行继续研究的基础，国外学者在论文中写到：“李在他的论文中通过引进和使用斜卷积半群的概念发展了移民系统的一套理论”，并称之为“重要的系统性工作”。

遗传模型与FV超过程　

Fleming-Viot超过程是基因遗传的数学模型， FV超过程可逆性的充要条件和遍历性问题是该领域两个重要的公开问题。李增沪同T.Shiga等合作将狄氏型方法应用于FV超过程的研究，给出了过程可逆性的充分必要条件。

波动极限和无穷维OU过程　

李增沪同L.G. Gorostiza合作通过对移民过程取波动极限构造了两类无穷维Ornstein-Uhlenbeck过程。无穷维OU过程在随机分析中占有重要位置，国外学者利用广义Mehler半群定义这种过程。最近发现，斜卷积半群方法也可以应用于广义Mehler半群和无穷维OU过程的研究。最近，李增沪与D.A. Dawson等给出了Hilbert空间上不可微广义Mehler半群的完整刻画，他们还证明相应的OU过程是广义介质分枝过程的波动极限，在这两类新的无穷维过程之间建立了联系。而洪文明和李增沪的另一波动极限定理则被美国《数学评论》称为“令人惊讶的”结果。

总之，我们的科研工作涉及概率论、微分几何、统计物理和泛函分析等多门学科。有的工作是发挥众家之长以攻坚，有的则是发展独特的研究工具与理论体系。这样的工作方式有利于不同分枝学科之间的相互渗透和相互促进，应该属于未来科学发展的主流方向。把随机方法应用于其它学科的研究，是概率学家们长期追求的目标之一。我们关于特征值估计方面的工作，便是一个成功的例子。而我们关于新型Harnack不等式的工作，则被国际同行称作是"original"的工作。无论是不等式本身还是研究手段，都不同于已有的Li-Yau型Harnack不等式。而它所拥有的广泛的应用前景，已被或正在被我们自己和一些国际同行的后继工作所证实。关于一般型Poincare-Sobolev不等式方面的工作，则是致力于发展具有自身特色的理论体系。以泛函不等式、半群性质和算子谱为研究对象，综合运用概率论、微分几何和泛函分析的成果和技巧，获得了全新的成果。关于耦合理论的研究则是基于发展有效研究工具的目的，而“最优耦合”这一概念的提出则引发了一系列的后续工作。在测度值过程的研究方面，我们集中力量攻克了具深刻背景的具体难题，引发了国际同行的后续工作。