《微分流形》教学大纲

 

Differential Manifold

 

课程编号】0213001045

课程类别】专业平台选修课

学分数】3

适用专业】数学科学学院各专业

学时数】48

编写日期

 

一、教学目标

流形是现代数学以及某些其它学科的基本对象之一。本课程的目的在于让学生了解微分流形的基本概念,它和某些其它学科分支的基本联系,为学生接触前沿数学做好准备。

二、教学内容和学时分配

(一)总论(或绪论、概论等)       学时(1)

主要内容:微分流形的概念在一些学科中的应用和流形的例子。

教学要求:了解微分流形研究的对象以及与其它学科分支的联系。

重点、难点:本课程抽象程度和综合程度较高。

(二)第一章  微分流形       学时(12)

主要内容:微分流形、切丛的定义,隐函数定理,向量场,Frobenius定理。

教学要求:所有学生应掌握微分流形与切丛的基本概念,了解隐函数定理的作用。

(三)第二章  张量与微分形式       学时(12)

主要内容:张量,外代数,微分形式,李导数。

教学要求:所有学生应掌握张量、外微分和李导数的运算性质。

(四)第三章  李群       学时(12)

主要内容:李群的定义和性质,指数映射,伴随表示。

教学要求:所有学生应掌握李群的定义和基本性质,指数映射的性质。

(五)第四章  流形上的微积分       学时(11)

主要内容:流形的定向,流形上的积分,Stokes定理,de Rham上同调。

教学要求:学生应掌握简单的流形上的积分计算,能计算简单流形的de Rham上同调群。

三、教材与学习资源

  • 陈省身,陈维桓. 微分几何讲义(第一版). 北京:北京大学出版社.
  • F.W. Warner. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Graduate Texts in Mathematics 94, Springer-Verlag.
  • M. 斯皮瓦克. 流形上的微积分(第一版). 北京:科学出版社.

四、先修课要求及教学策略与方法建议

先修课:数学分析,高等代数,抽象代数,拓扑学。

五、考核方式

平时成绩30%-50%,期末考试50%-70%。闭卷考试。

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