《有限元方法》教学大纲

 

Finite Element Methods

 

课程编号】0213001044

课程类别】专业平台选修课

学分数】3

适用专业】数学和应用数学

数学与应用数学的专业选修课

 

学时数】48

编写日期

 

一、教学目标

掌握有限元方法的基本原理和基本方法,包括椭圆型方程的协调、非协调、混合、杂交有限元方法,特征值问题,发展方程的有限元方法等。学会如何将一个偏微分方程的定解问题化为代数方程组或常微分方程组,并可以编程实现求解,同时学会如何分析一个方法的收敛性。

达到能够利用所学方法借助于计算机解决某些与偏微分方程定解问题相关的的实际问题的能力。

二、教学内容和学时分配

(一)预备知识       学时(6)

主要内容:

1.1 索伯列夫空间初步

1.2 变分、极值与Lagrange乘子

1.3 边值问题的弱解

(二)椭圆型边值问题的有限元方法(一)       学时(18)

主要内容:

2.1 Galerkin方法与Ritz方法

2.2 有限元方法与差分方法的联系

2.3 结构的矩阵分析

2.4 两种有限元表述的一致性

2.5 高阶方程

(三)椭圆型边值问题的有限元方法(二)       学时(6)

主要内容:

3.1 抽象误差估计

3.2 插值函数的误差

3.3 Aubin-Nitsche技巧

3.6 MPICH的安装与MPI程序的运

(四)混合、杂交、非协调有限元方法       学时(12)

主要内容:

4.1 对应于同一边值问题的不同变分问题

4.2 混合有限元方法

4.3 基于余能原理的杂交有限元方法

4.4 基于最小势能原理的杂交有限元方法

4.5 非协调有限元方法

4.6 分片检验

4.7 非协调有限元方法的收敛性

4.8 秩条件与Babuska-Brezzi条件

(五)特征值问题       学时(6)

主要内容:

5.1 弱解与有限元方法

5.2 特征值的误差估计

5.3 特征函数的误差估计

(六)发展方程的有限元方法       学时(6)

主要内容:

6.1 对空间变量半离散化

6.2 对时间变量半离散化

三、教材与学习资源

  • 应隆安. 有限元方法讲义. 北京:北京大学出版社.
  • 李开泰,黄艾香,黄庆怀. 有限元方法及其应用. 北京:西安交通大学出版社.
  • 姜礼尚、庞之垣. 有限元方法及其理论基础. 北京:人民教育出版社.
  • 冯康. 数值计算方法. 北京:国防工业出版社.
  • 钱伟长. 变分法及有限元. 北京:科学出版社.

四、先修课要求及教学策略与方法建议

先修课:数学分析,线性代数,偏微分方程,计算机算法语言。以课堂讲授为主,最后要求学生自主编程至少解决一个问题。

五、考核方式

考核包括计算与解决问题的能力与相关理论的考查两部分。计算部分的考查采用上机算题的方式完成,理论部分可采用笔试或口试考核。

 

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