《李代数及其表示》教学大纲

 

Lie Algebras and Their Representations

 

课程编号】0213001041

课程类别】专业平台选修课

学分数】3

适用专业】数学科学学院各专业

学时数】48

编写日期】2007年5月

 

一、教学目标

李代数是数学的一个重要分支,其理论渗透到数学的许多其他领域,并且在物理学中有重要的应用。本课程是关于李代数及其表示理论的初等引论,旨在让数学系(或物理等专业)的高年级学生了解李代数和表示理论,特别是复半单李代数的基本理论。为今后的进一步学习和科研打下基础。

二、教学内容和学时分配

(一)第一章  定义及例子       学时(4)

主要内容:背景介绍;李代数的定义;李代数的态射;李代数的表示;例子。

教学要求:让学生了解李代数发展的背景,掌握李代数及其表示的基本概念。

(二)第二章  幂零与可解李代数       学时(16)

主要内容:幂零与可解李代数的定义;Engel 定理;Lie 定理;Cartan 判别准则。

教学要求: 使学生熟练地掌握幂零与可解李代数的概念,了解Engel 定理,Lie 定理和Cartan 判别准则的基本内容及其证明。

(三)第三章  复半单李代数       学时(16)

主要内容:半单李代数的定义,例子及基本性质;Killing 型;半单李代数的表示;Weyl 完全可约性定理;半单李代数的根空间分解,根系及基本性质。

教学要求:使学生掌握半单李代数的概念和性质,理解半单李代数Killing 型的作用。了解Casimir元素的定义以及Weyl 定理的本质。掌握半单李代数的根空间分解理论以及根系的定义和基本性质。

(四)第四章  根系与复半单李代数的分类       学时(12)

主要内容:Euclid 空间的反射与根系;单根与Weyl 群;根系的Dynkin 图及其分类。

教学要求:掌握反射、(抽象)根系、单根和Weyl 群的概念,了解根系的分类定理,根系的Dynkin 图以及复半单李代数与Dynkin 图的对应关系。

三、教材与学习资源

  • J.P. Serre, Complex semisimple Lie algebras, Springer-Verlag, 1966.
  • James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2nd Edition, GTM 9, 1972.
  • V. Kac, Infinite Dimensional Lie Algebras, 3rd ed., Cambridge University Press, 1990.
  • 万哲先. 李代数. 北京:科学出版社,1964;Academic Press,1978.
  • 孟道骥,复半单李代数引论,北京大学出版社,1998.

四、先修课要求及教学策略与方法建议

先修课:高等代数,数学分析,抽象代数。课堂讲授与组织讨论相结合。

五、考核方式

笔试,或专题报告等形式灵活进行。

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