《集合论》教学大纲

 

Set Theory

 

课程编号】0213001040

课程类别】专业平台选修课

学分数】3

适用专业】数学科学学院各专业

学时数】48

编写日期】2007年5月

 

一、教学目标

集合论是数学专业逻辑方向的专业课程之一。这一门课旨在使学生熟练掌握集合论的基本概念,基本方法与基本技巧。本课程强调基础理论和基本方法的教学,适当开拓知识面,提高学生对数学基础的理解,训练学生严谨的数学思维,提高数学科研的能力。

二、教学内容和学时分配

(一)总论(或绪论、概论等)       学时(2)

主要内容:集合论的起源和发展。一阶逻辑。集合论的语言和公式

教学要求:使学生了解集合论的起源、研究对象和主要方法。

(二)第一章  集合论的公理(Axioms of Set Theory)       学时(6)

主要内容:集合论的ZFC公理系统,集合、类、关系、函数、等价类。

教学要求:使学生理解公理集合论的9条公理,能够区分集合和类,能够使用原始的集合和“属于”关系推导出常见的数学概念。

(三)第二章  序数(Ordinal Numbers)       学时(8)

主要内容:偏序、良序、序型。递归定理和归纳定理。序数的概念和性质。序数的运算。

教学要求:让学生理解序数的概念,能够熟练证明并应用序数运算的法则。

重点、难点:良序的比较,递归定理和Cantor范式是难点,学生多是初次接触如此严谨的证明,思路要讲解清楚,并给出完整的证明。无穷序数性质的证明要结合直观。序数的运算有别于自然数的运算,需要多安排练习。另外需要提醒学生选择公理在序数概念中的作用。

其它教学环节:通过作业和习题课,加深学生们对于概念的正确理解,掌握方法的使用技巧。

(四)第三章  基数(Cardinal Numbers)       学时(10)

主要内容:基数,共尾数,基数运算。Cantor-Bernstein定理和Cantor的对角线方法。

教学要求:让学生理解基数的概念,熟练掌握无穷基数一些初等的运算。

重点、难点:两个Cantor定理证明的方法非常重要,以后会多次出现,要将思想讲解透彻。共尾数的教学是个难点,要尽量结合直观来讲解证明。无穷基数的算术运算有别于自然数的运算,需要多安排练习。另外需要提醒学生选择公理在基数概念中的作用。

其它教学环节:通过作业和习题课,加深学生们对于概念的正确理解,掌握方法的使用技巧。

(五)第四章  实数(Real Numbers)       学时(12)

主要内容:实数集的大小。实数的序结构。实数上的拓扑。Baire空间。

教学要求:使学生熟悉和掌握实数集上的结构,并能够将实数集上的一些结构问题转换为组合问题。

重点、难点:back-and-forth方法、Baire Category定理和Baire空间上的组合方法是重点。

其它教学环节:通过作业和习题课,加深学生们对于概念的正确理解,掌握方法的使用技巧。

(六)第五章  正则公理(The Axiom of Regularity)  学时(6)

主要内容:集合域的层结构。∈-归纳法。良基关系。BG公理。Mostowski坍塌定理。

教学要求:让学生理解集合域的层结构,一般良基关系上的递归和归纳,增加对公理系统的整体了解。

重点、难点:重点在于将序数上的递归和归纳推广到一般的良基关系,建立良基关系的基本理论。

其它教学环节:通过作业和习题课,加深学生们对于概念的正确理解,掌握方法的使用技巧。

(七)第六章  选择公理和基数运算(The Axiom of Choice)  学时(4)

主要内容:选择公理,良序公理,Zorn引理,可数选择公理,DC。

教学要求:让学生了解选择公理的多种等价形式,弱化版本及一些重要推论。

重点、难点:难点在于让学生领会证明常见的数学定理需要的选择公理的“量”。

其它教学环节:通过作业和习题课,加深学生们对于概念的正确理解,掌握方法的使用技巧。

三、教材与学习资源

教材:

  • T. Jech. Set Theory (3rd Edition), Chapter 1-6. Verlag-Springer, 世界图书出版公司发行,北京,2003.

参考书目:

  • K. Hrbacek and T. Jech. Introduction to Set Theory (3rd Edition). Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 220. Marcel Dekker, Inc., New York, 1999.
  • H. B. Enderton. Elements of Set Theory. 北京:人民邮电出版社,2006.
  • H. B. Enderton. 集合论基础(中文版). 北京:人民邮电出版社,2006.

四、先修课要求及教学策略与方法建议

具备高中数学基础即可听课,但建议先修数学分析、高等代数、拓扑(或实变函数)等基础课程。

五、考核方式

小论文一篇,期末笔试。

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