《代数表示论初步》教学大纲

 

An Introduction of Representation Theory of Algebras

 

课程编号】0213001039

课程类别】专业平台选修课

学分数】3

适用专业】数学科学学院各专业

学时数】48

编写日期】2007年5月

 

一、教学目标

为进一步了解和学习代数表示论的学生介绍一些基本的代数初步知识,开阔和拓展本科学习阶段关于代数方面的知识和思维方法。

 

二、教学内容和学时分配

(一)第一章  域上的结合代数       学时(10)

主要内容:

1.1结合代数的定义和例子

1.2外代数

1.3结合代数的正则矩阵表示

1.4迹和范数

1.5结合代数的Fronbenius和Wedderburn定理

教学要求:掌握结合代数的正则表示,半单代数的Wedderburn 定理等有关结合代数的基础知识。

(二)第二章  Aitin 代数及其模范畴       学时(10)

主要内容:

2.1 Artin 代数

2.2 对偶

2.3 投射模和内射模的结构

2.4 箭图及其表示

2.5上三角矩阵代数

2.6 群代数

教学要求:掌握非交换Artin 代数的定义及其模范畴的基本性质,深入了解几类具体的Artin 代数,如箭图的路代数,矩阵代数,群代数。

(三)第三章  几乎可裂序列       学时(10)

主要内容:

3.1 Transpose 和对偶

3.2 Nakayama 代数和自入射代数

3.3几乎可裂映射和几乎可裂序列

3.4例子

3.5不可约映射

3.6 AR箭图

教学要求:几乎可裂序列是代数表示论的理论基础之一,学生应熟练掌握它的同调定义,并通过一些例子理解它的含义。

(四)第四章  遗传代数       学时(8)

主要内容:

4.1 Coxeter 变换

4.2 Cartan 矩阵

4.3 二次型和根

4.4 Kronrker 代数

4.5 有限表示型和Tame 表示型遗传代数

教学要求:有限维遗传代数是一类简单而重要的Artin 代数,它的很多性质可以用组合方法刻画出来。学生掌握域上的有限型和Tame 型遗传代数,将对抽象的代数理论有一个形象的理解。

三、教材与学习资源

  • M.Auslander, I.Reiten, S.Smalo, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press, 1995.
  • 刘绍学,环与代数. 北京:科学出版社,1983.
  • C.M. Ringel. Tame Algebras and Quatratic Forms. Vol. 1099 of Lecture Notes in Mathematics, Beilin: Springer-Varlag, 1984.

四、先修课要求及教学策略与方法建议

先修课:高等代数, 抽象代数,同调代数。课堂讲授为主,有1/4课时为习作课,师生共研习、讨论。

五、考核方式

考试形式:闭卷考试和开卷考试结合。

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